贝塞尔曲线分析和示例

幽灵

路径追踪算法，贝塞尔曲线，分直线，二阶贝塞尔，三阶贝塞尔

1. #include <stdio.h>
   
2. #include <math.h>
   
3. 
   
4. // 二维坐标结构体
   
5. typedef struct {
   
6.     double x;  // X坐标值
   
7.     double y;  // Y坐标值
   
8. } Point;
   
9. 
   
10. // 二维向量结构体
    
11. typedef struct {
    
12.     double dx;  // X分量
    
13.     double dy;  // Y分量
    
14. } Vector;
    
15. 
    
16. // 计算两点之间的距离
    
17. // p1: 第一个点
    
18. // p2: 第二个点
    
19. double distance(Point p1, Point p2) {
    
20.     double dx = p2.x - p1.x;
    
21.     double dy = p2.y - p1.y;
    
22.     return sqrt(dx*dx + dy*dy);
    
23. }
    
24. 
    
25. // 计算二阶贝塞尔曲线上的点
    
26. // p0: 起始点
    
27. // p1: 控制点
    
28. // p2: 终点
    
29. // t: 参数值，[0, 1]范围内的值
    
30. Point calculateQuadraticBezier(Point p0, Point p1, Point p2, double t) {
    
31.     double u = 1 - t;
    
32.     double tt = t * t;
    
33.     double uu = u * u;
    
34.     double ut = u * t;
    
35. 
    
36.     Point p;
    
37.     p.x = uu * p0.x + 2 * ut * p1.x + tt * p2.x; // 二阶贝塞尔曲线的x坐标计算公式
    
38.     p.y = uu * p0.y + 2 * ut * p1.y + tt * p2.y; // 二阶贝塞尔曲线的y坐标计算公式
    
39.     return p;
    
40. }
    
41. 
    
42. // 计算三阶贝塞尔曲线上的点
    
43. // p0: 起始点
    
44. // p1: 控制点1
    
45. // p2: 控制点2
    
46. // p3: 终点
    
47. // t: 参数值，[0, 1]范围内的值
    
48. Point calculateCubicBezier(Point p0, Point p1, Point p2, Point p3, double t) {
    
49.     double u = 1 - t;
    
50.     double tt = t * t;
    
51.     double uu = u * u;
    
52.     double ut = u * t;
    
53. 
    
54.     Point p;
    
55.     p.x = uu * u * p0.x + 3 * uu * t * p1.x + 3 * u * tt * p2.x + tt * t * p3.x; // 三阶贝塞尔曲线的x坐标计算公式
    
56.     p.y = uu * u * p0.y + 3 * uu * t * p1.y + 3 * u * tt * p2.y + tt * t * p3.y; // 三阶贝塞尔曲线的y坐标计算公式
    
57.     return p;
    
58. }
    
59. 
    
60. int main() {
    
61.     // 示例用法
    
62.     Point p0 = {0, 0};  // 起始点
    
63.     Point p1 = {1, 2};  // 控制点1
    
64.     Point p2 = {3, 4};  // 控制点2
    
65.     Point p3 = {5, 6};  // 终点
    
66. 
    
67.     int numSteps = 10;  // 贝塞尔曲线上的点数
    
68. 
    
69.     Vector tangent;    // 切线向量
    
70.     double t;          // 时间参数
    
71. 
    
72.     for (int i = 0; i <= numSteps; i++) {
    
73.         t = (double)i / numSteps;
    
74. 
    
75.         // 计算二阶贝塞尔曲线上的点
    
76.         Point point = calculateQuadraticBezier(p0, p1, p2, t);
    
77. 
    
78.         // 计算切线向量
    
79.         Vector v;
    
80.         v.dx = 2 * (p1.x - p0.x) * (1 - t) + 2 * (p2.x - p1.x) * t; // 切线向量的x分量计算公式
    
81.         v.dy = 2 * (p1.y - p0.y) * (1 - t) + 2 * (p2.y - p1.y) * t; // 切线向量的y分量计算公式
    
82. 
    
83.         // 将切线向量单位化
    
84.         double length = sqrt(v.dx * v.dx + v.dy * v.dy); //  计算切线向量的模长度
    
85. 
    
86. // 通过平方和的开方计算切线向量的模。
    
87. // 切线向量的模表示向量的长度。
    
88. // 使用勾股定理将x和y分量的平方和开方，得到向量的长度。
    
89.         tangent.dx = v.dx / length; // 单位化后的切线向量的x分量
    
90.         tangent.dy = v.dy / length; // 单位化后的切线向量的y分量
    
91. 
    
92.         // 计算预览点的位置
    
93.         Point previewPoint;
    
94.         previewPoint.x = point.x + tangent.dx; // 预览点的x坐标
    
95.         previewPoint.y = point.y + tangent.dy; // 预览点的y坐标
    
96. 
    
97.         printf("Point %d: (%.2lf, %.2lf)\n", i, previewPoint.x, previewPoint.y);
    
98.     }
    
99. 
    
100.     return 0;
     
101. }
     
102. 参数值 `t` 是一个范围在 [0, 1] 内的值，用于控制贝塞尔曲线上的点的位置。
     
103. 
     
104. 在贝塞尔曲线的定义中，我们使用控制点来塑造曲线的形状。贝塞尔曲线的起始点和终点是通过调整参数 `t` 来确定的。当 `t` 的值为 0 时，表示我们取贝塞尔曲线上的起始点；当 `t` 的值为 1 时，表示我们取贝塞尔曲线上的终点。
     
105. 
     
106. 当 `t` 的值在 (0, 1) 的范围内时，我们可以根据具体的数值来确定贝塞尔曲线上的中间点的位置。较小的 `t` 值会使我们更靠近起始点，而较大的 `t` 值会使我们更接近终点。在 (0, 1) 范围内，我们可以通过调整 `t` 的值来获得沿着贝塞尔曲线平滑变化的点的位置。
     
107. 
     
108. 需要注意的是，贝塞尔曲线上的点并不一定要在参数 `t` 等于整数值时才存在。实际上，我们可以使用更多的小数值来控制曲线上的更多点的位置，以获得更精细的曲线形状。通过在 [0, 1] 范围内对 `t` 的连续变化，我们可以生成贝塞尔曲线上的连续点集，从而绘制出平滑曲线形状。
     
109. 
     
110. 总之，参数值 `t` 表示在贝塞尔曲线上选择点的位置，范围在 [0, 1] 内，可以通过调整 `t` 的大小来控制点在曲线上的位置和移动的路径。

复制代码

这个程序中，我们首先定义了一个二维坐标结构体Point和一个二维向量结构体Vector。然后我们实现了计算两点之间距离的函数distance，计算二阶贝塞尔曲线上的点的函数calculateQuadraticBezier，以及计算三阶贝塞尔曲线上的点的函数calculateCubicBezier。

在main函数中，我们先定义了起始点p0、控制点1p1、控制点2p2和终点p3。然后定义了一个整型变量numSteps，表示贝塞尔曲线上的点数。接下来，我们定义了一个切线向量Vector和一个时间参数t。

在for循环中，我们根据参数t的值，通过调用calculateQuadraticBezier函数计算出贝塞尔曲线上的点point。然后，我们根据贝塞尔曲线的性质计算切线向量v，并将其单位化得到Vector类型的切线向量tangent。最后，根据切线向量和贝塞尔曲线上的点，计算预览点的位置previewPoint。

程序以格式化输出的方式打印出每个预览点的坐标信息。

最后，返回0表示程序正常结束。